Rannsóknaverkefni á stærðfræðistofu

Á stærðfræðistofu Raunvísindastofnunar starfa allir kennarar Háskólans í hreinni stærðfræði og sumir kennilegu eðlisfræðinganna. Á stærðfræðistofu eru að auki fjórir sérfræðingar í fullu starfi við rannsóknir. Rannsóknarverkefnin eru á sviði hreinnar stærðfræði og stærðfræðilegrar eðlisfræði og er þeim lýst nánar hér á eftir. Starfsmenn stofunnar vinna einnig að einstökum verkefnum á sviði hagnýtrar stærðfræði og við ráðgjöf á ýmsum sviðum. Meðal verkefna af þessu tagi má nefna ritun kennslubóka, skipulag stærðfræðikennslu í grunnskólum og umsjón með ólympíukeppninni í stærðfræði. Hér á eftir fer upptalning á helstu verkefnum sem unnið var að á árinu 1996. Stærðfræðistofa

Eggert Briem

• Talsvert hefur verið fjallað um föll sem verka með samskeytingu á Banachrúm af samfelldum föllum á þjöppuðum rúmum. Minna hefur verið fjallað um Banachrúm af föllum sem hverfa í óendanleikanum á staðþjöppuðum rúmum. Unnið var að tveimur verkefnum á þessu sviði á síðasta ári. Það fyrra varðar rúm sem eru lokuð í sup-staðlinum og er enn í gangi. Hið síðara varðar rúm sem eru fullkomin í normi sem yfirgnæfir sup-staðalinn. Því er að mestu lokið og hafa niðurstöður verið birtar í forprenti frá R.H.

• Harmónískar varpanir
  Markmiðið með rannsóknunum hefur verið að búa til tilfærsluheildi sem hefur harmóníska vörpun í hverjum togflokki varpana einnar þjappaðrar víðáttu yfir í aðra, sem stöðupunkt. Hugmyndin er að finna stöðupunkt með því að fylga ferli hröðustu minnkunar tilfærsluheildisins og sanna samleitni í jöfnum mæli með því að meta breytingu tilsvarandi staðbundinna orkugerða í flæðinu. Til þessa hefur vantað mat á jafnri samfeldni þegar viðkomandi orkugerð er takmörkuð. Á árinu tókst loks að finna setningu um þetta efni, raunar með betri niðurstöðu, en upphaflegar vonir stóðu til. Niðurstaðan með nákvæmri sönnun, sem er mjög löng og margslungin, kom út í riti R.H. um haustið '96.

• Undirstöður varmafræðinnar
  Markmið þessa verkefnis er að leggja grunn af sígildri varmafræði með einföldum frumsendum og leiða út frá þeim tilvist og eiginleika óreiðu.
  Samvinna: E. Lieb, Princeton.
• Bose-svið með takmarkaða sviðsvirkja
  Skammtasvið sem hlíta kórvíxlunarreglum hafa ótakmarkaða sviðsvirkja, og lengi var alitið að hið sama gilti almennt um öll Bose-skammtasvið. Nýlega sýndu D. Buchholz og H. Rehren hins vegar fram á það með dæmum, að í tvívíðu tímarúmi eru til Bose-svið, sem hafa takmarkaða sviðsvirkja. Í þessu verkefni er unnið að því að kanna hvort slík svið séu einnig til í tímarúmum af hærri vídd en 2.
  Samvinna: H. Steier, Vín.
• Thomas-Fermi fræði í segulsviði við endanlegt hitastig
  Í ritgerð Bergþórs Haukssonar til meistaraprófs við HÍ 1996 var lagður grunnur að TF fræðum fyrir atóm og sameindir í segulsviði við endanlegt hitastig. Þar er m.a. sönnuð setning um markgildi þrýstings í skammtafræði, sem segir að TF-fræði lýsi þessum þrýstingi nákvæmlega þegar kjarnahleðslur og rafeindafjöldi vaxa upp fyrir öll mörk. Unnið er að því að alhæfa þessa setningu fyrir önnur varmafræðileg mætti, sér í lagi frjálsa orku.
• Ástandsjafna fyrir samþjappað efni í sterku segulsviði samkvæmt TF-fræði
  Með TF-fræði og svonefndri kúlunálgun má reikna samband þéttleika þrýstings og hitastigs í góðri nálgun fyrir samþjappað efni. Þessari aðferð var beitt á efni í sterku segulsviði til að rannsaka eiginleika ystu laga í nifteindastjörnum.
  Samvinna: Einar Guðmundsson, Aðalbjörn Þorólfsson, Örnólfur Rögnvaldsson
• Grunnástand fyrir víxlverkandi Bose-gas
  Í þessu verkefni er unnið að því að skýra hvernig nákvæmt grunnástand fyrir Bose-gas tengist svonefndu Gross-Pitaevski-orkufelli, sem hefur nýlega verið notað til að túlka tilraunir sem sýna Bose-Einstein-þéttingu.
• Modúl-grúpa fleyglaga svæða og KMS-ástönd
  Mikilvæg niðurstað í algebrulegrar skammtafræði er setning Bisognano og Wichmanns, sem tengir Lorentz-ummyndanir og PCT-samhverfu við modúlgrúpur Tomita-Takesaki-fræði um von Neumann-algebrur. Unnið er að því að alhæfa þessa setningu fyrir skammtasviðsfræði við endanlegt hitastig.
  Samvinna: H.J. Borchers, Göttingen

• Heildun yfir keðjur í fáguðum rúmum og nærfáguð föll a keðjurúmum.
• Algebrulegar túlkanir á ýmsum rúmfræðilegum aðgerðum á fáguðum keilum.

• Fjölundirþýð föll
  Felli sem verka á fágaðar skífur á víðáttum eru notuð til þess að smíða fjölundirþýð föll.

• Upplausnir fágaðra knippa
  Lýsing verkefnis: Verkefnið snýst um þá spurningu hvenær samheldin fáguð knippi á fáguðum víðáttum hafa staðfrjálsar upplausnir af knippum. Þar sem samheldin fáguð knippi hafa ævinlega staðfrjálsar upplausnir af fáguðum tengdum knippakerfum beinist athugunin almennar að sambandi knippa og tengdra knippakerfa.
• Breiðger rúmfræði án samfellufrumsendna
  Verkefnið snýst um framsetningu breiðgerrar rúmfræði án notkunar samfellufrum-
  sendna.

Robert J. Magnus

• Rannsóknir á nærfáguðum virkjagildum föllum á Riemannflötum
  Rannsóknir þessar snúast um það að líta á nærfágað fall á Riemannfleti M, með gildum í algebru samfelldra virkja á Banachrúmi E, sem alhæfingu á sígildri róffræði eins virkja. Þannig er hægt að skilgreina litróf, eiginvigra og margfeldni. Litrófið er ákveðið hlutmengi í M; eiginvigrar og margfeldni eru úthlutuð sérhverju einangruðu, þjöppuðu hlutmengi litrófsins. Eiginvigrar tilheyra rúminu E en margfeldni er Banachrúm, ólíkt því sem gerist í sígildri róffræði þar sem margfeldni eigingildis er náttúrleg tala.

  Á árinu fullgerði ég eina grein og var hún tekin til birtingar. Hún ber yfirskriftina The spectrum and eigenspaces of a meromorphic operator-valued function. Ég sannaði alhæfingu á setningu Runges fyrir vigurgild föll á Riemannflötum. Var þessi niðurstaða sett fram í sérprenti R.H. en mun birtast sem viðauki við ofangreinda grein.

  Önnur grein sem ber heitið Meromorphic operator-valued functions: multiplicity and equivalence er komin vel á leið en ekki reyndist unnt að fullgera hana fyrir árslok.

• Granngrúpur, umraðanagrúpur og net
  Verkefni þetta snýst um að rannsaka tengsl grannmynsturs sem hægt er að skilgreina á sérhverja umraðanagrúpu og eiginleika grúpunnar. Árið 1995 tókst mér að finna nýja sönnun á þekktri setningu um grúpuverkanir á net eftir rússneskan stærðfræðing. Grein sem inniheldur þessa sönnun hefur nú verið snurfusuð og hefur verið samþykkt til birtingar í tímaritinu Discrete Mathematics. Einnig hef ég unnið að framhaldi þessa verkefnis.
• Óendanlegar umraðanagrúpur
  Sumarið 1996 hélt ég, ásamt þremur öðrum stærðfræðingum, námskeið um óendanlegar umraðanagrúpur við Indverska Tækniháskólann í Guwahati. Upp úr þessum fyrirlestrum hefur nú verið unnin bók, sem mun koma út hjá Hindustan Book Agency í Indlandi. Handrit bókarinnar er nú á lokastigi, og ef guð lofar ætti bókin að koma út í sumar. Samverkamenn mínir eru þau Meenaxi Bhattacharjee við Indverska Tækniháskólann í Guwahati, H. Dugald Macpherson við Leeds Háskóla og Peter M. Neumann við Oxford Háskóla.

• Slembifletir og slembivíðáttur
  Slembifletir og slembivíðáttur eru alhæfingar á slembigangi sem beitt er til að smíða stærðfræðileg líkön af ýmsum náttúrufyrirbærum, sér í lagi skömmtuðum strengjum, fasamörkum í safneðlisfræði, himnum og þyngdarskammtafræði. Um þessar mundir eru helstu verkefnin rannsókn á áhrifum efnissviða á rúmfræðilega gerð flata, litrófsvídd slembivíðátta og hvernig unnt er að skilgreina Lorentz--mynstur á slembifleti.
• Stærðfræðilíkön af jarðskjálftum og skriðuföllum
  Tvívítt kubba og gorma líkan var rannsakað ítarlega með hermireikningum og gerð færslusvæðisins könnuð sérstaklega. Slembigangslíkan af skriðum var leyst stærðfræðilega og krítískir veldisvísar ákvarðaðir, þ. á m. Gutenberg--Richter hallatalan.