Next: Tímasetning sólhvarfa Up: Ritsmíðar Previous: Time and travel

Hversu nákvæmur var Stjörnu-Oddi?

Þorsteinn Vilhjálmsson

Raunvísindastofnun Háskólans

Birt hjá Leó Kristjánssyni og Þorsteini Vilhjálmssyni (ritstj.), 1991. Eðlisfræði á Íslandi V. Reykjavík: Háskólaútgáfan. Bls. 83-95.

Inngangur

Eitt merkasta framlag Íslendinga á miðöldum til viðfangsefna raunví sinda er svokölluð Odda tala sem er eignuð norðlenska vinnumanninum Stjörnu-Odda,(1)en hann virðist hafa verið uppi á tólftu ö ld, líkast til fyrri partinn.(2) Þá er ritöld hafin á Í slandi og vitað að tiltekin erlend rit um þessi efni voru til í landinu. Þ að kemur m.a. fram í ritinu Rímbeglu frá því um eða eftir miðja tó lftu öld, en þar segir frá ýmsum innfluttum fróðleik um stjörnur og rím (tí matal). Auk þess getur þar að lesa nokkra kafla sem bera glöggt vitni um sjálfstæðar athuganir íslenskra manna, og er Odda tala helst þeirra.

Eina heimild okkar um Odda sjálfan er í svokölluðum Stjörnu-Odda draumi, sem er einn af Íslendingaþáttum. Í upphafi hans segir svo:

Þórður hét maður er bjó í Múla norður í Reykjardal. Þar var á vist með honum sá maður er Oddi hét og var Helgason. Hann var kallaður Stjö rnu-Oddi. Hann var rímkænn maður svo að engi maður var hans maki honum samtíða á öllu Íslandi, og að mörgu var hann annars vitur. Ekki var hann skáld né kvæðinn. Þess er og einkum getið um hans ráð að það höfðu menn fyrir satt að hann lygi aldrei ef hann vissi satt að segja,og að öllu var hann ráðvandur kallaður og tryggðarmaður hinn mesti. Félítill var hann og ekki mikill verkmaður.(3)

Síðan segir frá því að Þórður húsbóndi Odda sendi hann út til Flateyjar á vit fiska og þar dreymir hann drauminn sem er hin eiginlega saga. Efni hennar virðist ótengt Odda sjálfum, en hins vegar segir frá því að hann vaknaði í miðjum draumi og gekk út og hugði að stjörnum sem hann á tti venju til jafnan er hann sá "út um nætur þá er sjá mátti stjörnur".(4) Í lok þáttarins er sagt að efni hans megi þykja undarlegt og fáheyrt en þó muni vera rétt frá sagt "því að Oddi var reiknaður bæði fróður og sannsögull".(5)

Hér með er upp talið það sem við vitum um persónu og hagi Stjö rnu-Oddaog er svo sem ekkert einsdæmi í vísindasögunni að lítið sé vitað um persónurnar þótt verkin lifi. En hin stóru orð sem höfð eru um rímkæ nsku Odda í textanum hér á undan eru ásamt öðru góð rök fyrir því að eigna honum Odda tölu sem sagt verður frá hér á eftir. Jafnframt má hafa þau til marks um það að hann og verk hans hafi verið mörgum kunn um þó nokkurt skeið.

Odda tala er um tvær blaðsíður að lengd í venjulegri prentun. Hú n er felld inn í Rímbeglu auk þess sem talan er varðveitt sem sjá lfstætt rit í handritinu Gammel kongelig samling 1812 4to, og tveir fyrri kaflar hennar eru felldir inn í texta Hauksbókar. Talan hefur nokkrum sinnum verið gefin út fræðilega á prenti.

Öll umgerð Odda tölu er á þann veg að hún og efni hennar hafi orðið til hér á landi, og ekki er vitað um neinar hliðstæður í miðaldatextum. Talan er í þremur köflum og fjallar sá fyrsti um það, hvenær sólstöður verði á sumri og vetri, fyrst í hlaupári og síðan í þrjú ár það an í frá þar til hringurinn lokast og sagan endurtekur sig. Annar kaflinn lýsir því hversu sólar gangur vex að sýn frá vetrarsólstöðum til sumarsólhvarfa og þverr síð an til næstu vetrarsólhvarfa. Í þriðja kafla er gerð grein fyrir því, hvernig stefnan til dögunar og dagseturs breytist yfir árið. Hér verður nú fjallað um þessa kafla hvern um sig.

Tímasetning sólhvarfa

Fyrsti kafli Odda tölu fjallar samkvæmt orðanna hljóðan um það í hvaða á tt og á hvaða degi sólhvörf verði á hverju fjögurra ára tímabili eins og áð ur var lýst. Það kemur nútímamönnum í fyrstu spánskt fyrir sjónir að talað sé um stefnu sólhvarfa í stað þess að tilgreina einfaldlega hvað klukkan er. En þá þurfum við að hafa hugfast að klukkur voru að sjálfsögðu ekki til á tímum Odda og honum hefur verið fullt eins eðlilegt að tjá sig á þennan hátt. Jafnvel aðgætnir fræðimenn hafa þó fallið í þessa gryfju en að rir hafa séð sem er að þessi aðferð Stjörnu-Odda til að lýsa tímasetningum er í rauninni býsna snjöll.(6) --- Í töflu 1 kemur fram í hnotskurn það sem Oddi vildi sagt hafa um sólhvörfin, og er bætt við nútí ma túlkun í síðasta dálki.

Tafla1. Dagsetning sólhvarfa og stefna til þeirra samkvæmt fyrsta kafla Odda tölu, ásamt tímasetningu

Nr. frá hlaupári	Sumar- eða vetrarsólhvöf	Dagsetning	Stefna til sólar	KL.
0	S	15.06.	SA	9
	V	15.12.	N	0
1	S	15.06	SV	15
	V	15.12.	A	6
2	S	15.06.	NV	21
	V	15.12.	S	12
3	S	16.06.	NA	3
	V	15.12.	V	18

Dagsetningar sólhvarfa í töflunni kunna einnig að koma á óvart. Sams konar skekkja er í tímasetningu jafndægra í öðrum kafla Odda tölu, eins og fram kemur hér á eftir, og víðar í íslenskum rímfræðiritum, svo og í norska ritinu Konungs skuggsjá frá miðri 13. öld, þótt bæði sé það ó beint og ónákvæmt.(7)

Við eigum því að venjast að sólhvörf og jafndægur beri því sem næst upp á 20. mars, 21. júní, 23. september og 21. desember, en skakkað geti einum degi til eða frá meðal annars eftir því hvernig stendur á hlaupári. Þ egar tímatal kristinnar kirkju var að festast í sessi á fjórðu öld var við það miðað að hafa vorjafndægur 21. mars, en sú dagsetning skiptir sérstöku máli við tímasetningu páska. Júlíanskt meðalár víkur hins vegar frá raunverulegu hvarfári um því sem næst þrjá daga á hverjum fjórum öldum. Þ ess vegna höfðu raunveruleg jafndægur og sólhvörf færst fram um sex daga innan júlíanska almanaksársins þegar komið var fram á daga Stjörnu-Odda á tólftu öld. Þetta var hins vegar ekki viðurkennt í viðteknu tímatali kirkjunnar, heldur var þar látið í veðri vaka að sólhvörf og jafndægur bæ ri enn upp á sömu daga ársins og í Níkeu.

Hér er því ljóst að Oddi trúir sínum eigin augum eða annarra samtíð armanna betur en viðteknum venjum kirkjunnar eða annarra yfirvalda. Aðrir rímfróðir menn í landinu hafa fylgt fordæmi hans, þar á meðal sá sem skrifaði ritið Rím II á þrettándu öld.(8)

Á töflunni sést að Oddi lætur líða 182d 15h milli sólhvarfa hverju sinni. Með öðrum orðum skiptir hann júlíönsku meðalári (365d 6h) nákvæ mlega til helminga. Þetta er einnig gert svo í Konungs skuggsjá.(9) Við vitum að Íslendingar voru einmitt að kynna sér og taka upp júlíanskt tímatal á dögum Stjörnu-Odda á tólftu öld. Má raunar mikið vera ef hann, sem var einhver rímfróðasti maður landsins, hefur ekki komið við sögu í þeim siðaskiptum. Þannig er það varla nein tilviljun að hann sý nir góðan skilning á júlíönsku tímatali og lykilatriði þess, hlaupá rshugtakinu.

Sumir fræðimenn síðari tíma hafa viljað svo vera láta að Oddi sé í þessum kafla að lýsa beinum eigin athugunum sínum; hann hafi getað séð af sólargangi hvenær á deginum sólhvörf yrðu.(10) Þetta hlý tur að teljast útilokað og liggja til þess mörg stjörnufræð ileg rök. --- Í fyrsta lagi er erfitt að ákveða með beinum og einföldum athugunum, ná kvæmlega hvenær sólhvörf verða, því að miðbaugsbreidd sólar er þá í ú tgildi og breytist afar hægt. --- Í öðru lagi víkur júlíanskt ár (365,25d) frá raunverulegu hvarfári (365,2422d) um 11,2 mínútur og sólhvörfin flytjast því um 3 klst á 16 árum, eða um álíka langan tíma og textinn gefur til kynna sem óvissu. Tímasetning sólhvarfa er því alls ekki föst t.d. innan eins mannsaldurs eins og ætla mætti af textanum. --- Í þriðja lagi er ekki rétt hjá Odda að tíminn frá vetrarsólhvörfum (V) til sumarsó lhvarfa (S) sé endilega jafnlangur og tíminn frá S til V.(11) Munurinn var um 8 klukkustundir árið 1100 og um 3 stundir árið 1200.(12) --- Síðarnefndu tvö atriðin má draga saman í þann kjarna máls að lýsing kaflans á tímasetningu sólhvarfa kemur ekki heim við raunveruleikann um neitt umtalsvert tímaskeið.

Niðurstaða mín um þennan kafla Odda tölu er sú að hann lýsi eigin athugunum íslenskra manna að því er tekur til dagsetningar á sólhvörfum og sýni að því leyti athyglivert sjálfstæði gagnvart viðteknum hugmyndum erlendis á sama tíma. Einnig kemur fram í kaflanum merkileg aðferð til að lýsa tímasetningu sólhvarfa innan sólarhringsins, áður en klukkur komu til sögu. Tímasetningin sjálf virðist hins vegar ekki byggð á sjálfstæðri athugun heldur eins konar útreikningi í tilefni af því að menn hafi verið að innleiða júlíanskt tímatal. Höfundur kaflans hefur skilið grundvallaratriði hins nýja tímatals og viljað glöggva sig og aðra frekar á þeim með því að taka þau bókstaflega í hæfilega einfaldaðri reikniæfingu. Hann fer að þessu leyti svipað að og kennarar eða kennslubó kahöfundar sem leggja dæmi fyrir nemendur til að þjálfa skilning og láta reyna á hann.

Hversu sólar gangur vex að sýn

Í öðrum kafla Odda tölu segir svo:

Sólar gangur vex að sýn hálfu hveli sólarinnar á hinni fyrstu viku eftir sólhvörfin. Aðra viku vex heilu hveli, þriðju viku hálfu öðru, fjórðu tveim hvelum, fimmtu hálfu þriðja, sjöttu III, sjöundu hálfu fjórð a, á tt[und]u viku fjórum heilum, níundu hálfu fimmta, tíundu V, elleftu há lfu sjötta, tólftu VI, þrettándu hálfu VII-a, fjórtándu enn hálfu VII-a. Þá vex mestu á þeim tveim vikum sólargangur, því að það er miðmunda sólhvarfanna, og verður vikna mót þeirra IIII nóttum eftir Gregoríus messu [þ.e. 16. mars]. Fimmtándu viku vex sólar gangur VI hvelum heilum, ..., XXVI. hálfu hveli. Þá er komið til sólhvarfa um sumarið.

Og þverr að slíku móti ganga sólarinnar sem nú er talið um vö xtinn. Er um haustið Crucis messa [14. sept.] á miðmunda stað só lhvarfanna.(13)

Þessi kafli er endurtekinn efnislega í Rími II með þeim ummæ lum í lokin, "að sá er sólar gangur að tölu Stjörnu-Odda norður á Í slandi".(14)

Fyrst er þess að geta að samkvæmt þessu vex sólar gangur samtals um 91 sólar hvel frá vetrarsólstöðum til sumarsólhvarfa. Á þessum tíma fer sólin frá syðsta punkti sólbaugs til hins nyrsta. Stjörnubreidd hennar breytist því samtals sem nemur tvöföldum halla só lbaugs eða 47°. Í tölum Stjö rnu-Odda felst því óbeint að þvermál sólar sé um hálf gráða (47/91). Um þetta efni höfðu menn á miðöldum þá fullyrðingu alfræðihöfundarins Macrobiusar frá fimmtu öld, að sýndarþvermál sólar væri 1/216 af hring eða 1°14'.(15) Rétta talan er hins vegar 32' eða rúmlega hálf gráða, þannig að Oddi fer um þetta miklu nær réttu lagi en samtíðarmenn hans á meginlandi Evrópu hefðu gert, ef þeir hefðu á annað borð talið sig vita. Þetta er enn einn vitnisburðurinn um það að fróðleikur Odda tölu er ekki innfluttur, heldur er hann í veigamiklum atriðum fenginn með sjálfstæð um athugunum og umhugsun á Íslandi.

Þá er afar athyglivert að skoða þá stærðfræðilegu aðferð sem Oddi beitir í þessum kafla tölunnar: Hann lætur sólarganginn fyrst vaxa um eina einingu (hálft sólar hvel), síðan um tvær, þrjár og svo framvegis. Ef litið er á samanlagðan vöxtinn samkvæmt þessu, fæst svokallaður fleygbogi (parabóla) eða með öðrum orðum annars stigs ferill. Slíka ferla má nær alltaf nota sem nálgun um fall kringum punkt þar sem það hefur útgildi (hé r er miðbaugsbreidd sólar í lággildi á vetrarsólstöðum). Aðferð Odda hefur því verulegt almennt gildi sem stærðfræði og er líklegt að hún hafi verið þekkt í fornöld og/eða í Evrópu á miðöldum. Aðferðin er einnig einföld í sniðum og auðvelt að lýsa henni. Því er einnig vel hugsanlegt að Stjö rnu-Oddi hafi haft spurnir af henni eftir munnlegum leiðum, enda er óvíst að hann hafi kunnað að lesa. Allt þetta þarfnast þó nánari athugunar.

Ef við snúum okkur nú að sjálfum tölunum í þessum kafla, þá liggur beinast við að ætla að Oddi hafi sjálfur gert athuganir á sólarhæð yfir á rið. Þannig hefur hann annað hvort orðið sér úti um fyrstu tölur sem efnivið í líkan, eða að tölurnar hafa sýnt honum að líkanið kæmi heim og saman. Hitt er þó langsennilegast að athuganir og líkansmíð hafi haldist í hendur í stöð ugri víxlverkun. Ég hygg raunar að slík vinnubrögð séu í rauninni miklu algengari í vísindum en menn gera sér yfirleitt ljóst.

Oddi hefur verið dável í sveit settur til að kljást við þennan vanda. Þ ar eð sólin fer aldrei mjög hátt á loft er auðveldara að fylgjast með breytingum á hæð hennar í Þingeyjarsýslu en á suðlægari slóðum í Evrópu. Fjallahringurinn, til dæmis í Múla eða í Flatey, gefur honum náttúrlegan mæ likvarða svipað og Þorsteini surti fyrirrennara hans.(16) Hann hefur raunar ekki þurft að halda sig eingöngu við hádegishæð sólar heldur hefur hann einnig getað nýtt sér athuganir á sól kringum só laruppkomu og sólsetur, því að þar koma breytingar á stjörnubreidd sólar einnig skýrt fram.

Sem fyrr segir notar Oddi í þessum kafla horneininguna sólar hvel. Þ essi eining er hins vegar ekki sett í beint samband við neitt annað. Í má linu er þó að finna einn náttúrlegan kvarða eins og áður var getið, sem sé heildarhækkun sólar sem er jöfn tvöföldum halla sólbrautar. Eðlilegasta að ferð til að bera tölur Odda saman við þekkingu okkar er því sú að setja heildarfærsluna samkvæmt honum, 91 sólar hvel sama sem fyrrnefnda heildarfæ rslu samkvæmt þekkingu okkar, 47°. Með því bætum við að vísu örlitlu við þæ r upplýsingar sem Oddi gefur okkur, en þó nógu miklu til að geta gert vitræ nan samanburð. Þannig fæst niðurstaða sem sýnd er á mynd 1. Hún sýnir að tölur og aðferðir Odda fara furðu nærri réttu lagi um heildarhækkun sólarinnar frá vetrarsólstöðum. Frá vikið á myndinni er mest kringum jafndægur en ekki má taka það of bó kstaflega því að mesta frávik flyst til eftir því hvernig við veljum kvarð ann. En hvernig sem við hefðum valið hann verða ferlarnir tveir á myndinni aldrei eins í laginu.

Sjálfar tölur Odda lýsa skv. orðanna hljóðan ekki heildarhækkun sólar heldur vikulegri hækkun. Á mynd 2 er þetta borið saman við raunveruleikann. Eins og við er að búast kemur þar fram hlutfallslega meira frávik enda er kvarðinn á lóðrétta ásnum teygður miðað við fyrri myndina.

Á báðum myndunum kemur glöggt fram að raunveruleikinn er ekki eins samhverfur og Oddi vill vera láta. Regla hans er samhverf bæði um sólhvörf og jafndægur. Fyrrnefnda samhverfan felst í því að hækkun eftir vetrarsó lhvörf er alltaf jafnmikil og lækkun í samsvarandi viku fyrir sólhvörfin, og hið sama gildir um hækkun fyrir sumarsólhvörf í samanburði við lækkun eftir þau. Þetta lýsir sér í því að ferill Stjörnu-Odda á mynd 1 er samhverfur um lóðrétta línu gegnum sumarsó lhvarfapunktinn, sem er um leið hágildispunktur ferilsins. Jafnframt er ferillinn eftir sumarsólstöður á mynd 2 spegilmynd af ferlinum fyrir sólstöðurnar.

Þessi samhverfa kemur fram í raunveruleikanum ef sólhvörf eru á langá snum í sporbaugsbraut jarðar um sól samkvæmt okkar heimsmynd, sbr. mynd 3. Ásinn er þá hornréttur á stefnuna til vorpunkts og á máli stjörnufræðinnar er sagt að miðbaugslengd sólnándar sé 90° eða 270°. Ef jörð, sól og tungl væru ein í sólkerfinu, mundi þessi langás jarðbrautarinnar alltaf hafa því sem næst sömu stefnu miðað við fastastjörnur. Engu að síður mundi miðbaugslengd hans þó breytast vegna fæ rslu vorpunkts og pólveltu jarðar sem stafar af sjávarfallakröftum á jörð . Þessi færsla nemur um 1,4° á öld. Því til viðbótar kemur snúningur langá ssins vegna áhrifa frá hinum reikistjörnunum sem nemur um 0,3° á öld. Samtals hefur miðbaugslengd sólhvarfa því breyst um 1,7° á öld síðastlið nar 20 aldir og hefur breytingin á öld raunar vaxið úr 1,69° í 1,71° á því tímabili.(17) Miðbaugslengdin var 270° árið 1246. Þá hafa sólhvörfin skipt árinu í tvo jafnlanga hluta, sbr. kaflann hér á undan. Litlar líkur eru þó á að Oddi hafi verið uppi svo seint og hef ég því ekki sýnt samanburð á tölum hans við þann tíma. Umrædd samhverfa kæmi þar auð vitað betur fram, en þó á kostnað hinnar sem nú skal nefnd.

Samhverfan um jafndægur í tölum Stjörnu-Odda felst í því að hækkunin í tiltekinni viku eftir vorjafndægur er jafnmikil og í samsvarandi viku fyrir jafndægrin, og hið sama gildir um lækkunina fyrir og eftir haustjafndægur. Ferill Odda á mynd 2 er því samhverfur um lóðréttan ás gegnum jafndægrapunktana og á mynd 1 er ferillinn spegilsamhverfur um jafndæ grapunktana.

Á myndum 1 og 2, einkum þeirri síðari, sést glöggt að þessi samhverfa kemur verr heim við raunveruleikann en hin. Samkvæmt þekkingu okkar byggist þetta á því að braut jarðar víkur frá hring með miðju í sól. Þetta þýðir til dæmis að bogalengdir í fjórðungum jarðbrautarinnar eru mismunandi, sbr. mynd 3. Þar við bætist annað lögmál Keplers en vegna þess verður munurinn á tímalengd enn meiri en munurinn á bogalengdunum, og hornhraði sólar miðað við fastastjörnur eða vorpunkt breytist talsvert gegnum árið frá því að jörð er í sólnánd og til sólfirðar.

Það virðist hafa verið grundvallaratriði í hugsun Stjörnu-Odda að árið skiptist í jafna fjórðunga og hreyfing sólar í hverjum þeirra væri samhverf við hina þannig að hækkun kæmi í stað lækkunar eftir því sem við á . Þessi hugsun er vissulega eðlileg sem fyrsta nálgun eins og okkur eð lisfræðingum er tamt að taka til orða. Hún stenst þó ekki nánari skoðun heldur gefur frávik sem hefði átt að vera mælanlegt miðað við þá nákvæmni sem tölur Odda gefa til kynna, sbr. myndirnar. Vegna miðskekkju jarð brautarinnar er alveg sama hvernig brautinni er snúið miðað við sólstöðuá sinn, eða með öðrum orðum hvenær við hugsum okkur að Oddi hafi verið uppi: Fjórðungarnir verða aldrei allir jafnir.

Niðurstaðan um þennan kafla hjá Odda er sú að hann sé býsna frumlegur og beri vitni um sjálfstæðar athuganir og umhugsun. Sú aðferð annars stigs nálgunar sem lýst er í honum er snjöll en líklegast er að Oddi hafi frétt um hana af afspurn. Tölulegar niðurstöður Odda í þessum kafla koma allvel heim en þó hefði verið hægt að hugsa sér að hann eða eftirmenn hans hefðu gert svo nákvæmar athuganir að skekkjan kæmi fram. Hins vegar hefði stærð fræðilegur einfaldleiki og samhverfa þá farið forgörðum, en ýmislegt bendir til þess að Oddi hafi haft dálæti á slíkum atriðum.

Stefna dögunar og dagseturs

Í þriðja kafla Odda tölu segir frá því, á hvaða dögum ársins dagur kemur upp og sest í tilteknum áttum. Efni þessa kafla er háð breiddargráðu athugandans og er því útilokað að Oddi hafi fengið fróðleik sinn um stefnur og dagsetningar að láni erlendis frá. Hins vegar er tekið á svipuð u viðfangsefni í Konungs skuggsjá(18) sem mun nú yfirleitt talin rituð í Noregi um miðja þrettándu öld.

Þegar Björn M. Ólsen (1850--1919) gaf út Odda tölu árið 1914, fékk hann guðfræðiprófessorinn Eirík Briem (1846--1929), sem var áhugamaður um stærð fræði og stjörnufræði, til að gera útreikninga í þessu viðfangi. Greinargerð Eiríks er felld inn í texta Björns. Samkvæmt henni koma nið urstöður Odda þokkalega heim ef gert er ráð fyrir að hann hafi sett dögun og dagsetur þegar sólin er um 14° undir sjóndeildarhring. Sænski stjö rnufræðingurinn Curt Roslund hefur nýlega komist að svipaðri niðurstöð u.(19)

Í þessum kafla tölunnar kemur fram svipuð samhverfa og í öðrum kaflanum. Þess ber að geta að stefnan sem um er rætt er ekki sérlega vel skilgreind eins og þeir vita sem fylgst hafa með dögun og dagsetri: Þessi fyrirbæri spanna þó nokkurt horn á sjóndeildarhringnum. Hér er því hugsanlegt, svipað og í fyrsta kaflanum og jafnvel einnig öðrum, að Oddi sé ekki endilega að lýsa beinum athugunum, heldur einhvers konar ú treikningum þar sem hann hefur samhverfuna að leiðarljósi. Meðal annars benda athuganir Roslunds í þessa átt.

Lokaorð

Efni Odda tölu stenst með prýði samanburð við það sem tíðkaðist í Evró pu á sama tíma. Víst má það nokkrum undrum sæta að vinnumaður norður í landi á tólftu öld hafi búið yfir þeirri þekkingu sem þarna er lýst og væ ntanlega tekið hana saman með einhverjum hætti þannig að talan væri fest á bókfell og síðan eignuð honum. Hitt ber einnig að hafa í huga að því að eins er Odda tala okkur tiltæk nú að jarðvegur var fyrir hana á sínum tíma og áfram á miðöldum.

Forvitnilegt er að hugleiða notagildi þess fróðleiks sem fram kemur í Odda tölu. Skal hér tæpt á nokkrum atriðum en að öðru leyti vísað til fyrri ritgerðar eftir sama höfund.(20) Áður hefur verið fjallað um gildi fyrsta kaflans sem æfingar til skilnings á júlíönsku tí matali. Annar og þriðji kaflinn hefðu hins vegar einnig verið afar gagnlegir í siglingum um úthafið milli Noregs, Íslands og Grænlands.

Sjómenn sem þurftu að sigla um hafið á öðrum tímum en kringum sólhvörf, hefðu getað notað sér annan kafla tölunnar til þess að meta landfræðilega breidd út frá hádegishæð sólar. Menn voru yfirleitt ekki skemmra en viku í hafi og breytingin á stjörnubreidd sólar á þeim tíma getur numið nokkrum gráðum. Hádegishæð sólar minnkar sem því nemur ef miðað er við óbreytta landfræðilega breidd. Ef menn hafa ekki þekkt þessa breytingu og reynt að sigla þannig að hádegishæðin væri föst, þá hefur skipið borið af leið sem svarar nokkrum gráðum.

Notagildi þriðja kaflans í sjóferðum er ef til vill enn augljósara en þetta. Hugsum okkur til dæmis að menn hafi lent í hafvillu í þoku eða dumbungi og síðan létti til. Ef þeir þekkja þriðja kafla Odda tölu, þá geta þeir við þessar aðstæður notað stefnuna til dögunar eða dagseturs til að átta sig að nýju og stýra skipinu í þá átt sem þeir ætla sér.

Telja má vafalítið að Odda tala sé að mestu leyti reist á íslenskum athugunum og íslenskri hugsun. Erlend áhrif er helst hægt að hugsa sér sem munnlegan fróðleik frá meginlandi Evrópu sem hefur hvorki verið sérlega á reiðanlegur, nákvæmur né áþreifanlegur. Alltént hefur þurft bæði gagnrýna hugsun og sjálfstæða kunnáttu til að nýta slíkan fróð leik með þeirri skynsemi og nákvæmni sem gert er í Odda tölu.

Lærdómsríkt er að líta á fræði Odda sem vísi að stjörnufræði sem hefði getað þróast áfram sjálfstætt á grundvelli íslenskra athugana, ef menn hefð u ekki á sömu áratugum verið að komast í tæri við aðra fróðleiksbrunna. Spurningunni um hvernig einangruð íslensk stjörnufræði hefði þróast verður hver að svara fyrir sig, en líklegt virðist að í henni hefði verið lögð meiri áhersla á sólarganginn en gert var í stjörnufræðum suðlægari landa þegar þau voru að vaxa úr grasi. Vegna tímatals og almanaks hefði tunglinu einnig verið veitt vaxandi athygli, en fyrirbæri eins og gangur sólar mið að við Dýrahringinn hefði setið á hakanum, enda miklu erfiðara að fylgjast með honum með beinum athugunum hér á norðurslóð en sunnar í álfum.

Landnám Íslands var einum þræði til marks um það að Norðurlandabúar bjuggu yfir þeirri kunnáttu og þekkingu sem þurfti til að halda uppi skipulegum siglingum um úthaf og samhæfðu mannlífi við erfið skilyrði á norðurhjara. Meðal annars hefur þar verið um að ræða þekkingu í ætt við raunvísindi, þar á meðal stjarnvísi. Íslendingar þróuðu fljótlega með sér sjálfstæða þekkingu á slíkum fræð um, einkum þeim sem vörðuðu tímatal, enda var sérstök þörf á því í stóru og strjálbýlu landi þar sem sumar er stutt og því brýn þörf á að nýta það sem best. Einnig hefur komist á já kvæð víxlverkun milli siglinga og stjarnvísi eins og Odda tala virðist vera til vitnis um.

Aftanmálsgreinar

(1)Björn M. Ólsen 1914; Beckman 1916; Þorkell Þorkelsson 1926; Zinner 1933; Reuter 1934; Eiríkur Hamall Þorsteinsson 1986; Þ orsteinn Vilhjálmsson 1990. --- Hlutar úr þeirri grein eru hér teknir nokkru fastari tökum. Tilvísanir hafa ekki allar verið endurteknar.

(2)Beckman 1916, xxiv--xxv; Björn M. Ólsen 1914, 1--15.

(3)Guðni Jónsson 1947, 379; Bragi Halldórsson o.fl. 1986, 2231--32.

(4)Guðni Jónsson 1947, 392; Bragi Halldórsson o.fl. 1986, 2238.

(5)Guðni Jónsson 1947, 405; Bragi Halldórsson o.fl. 1986, 2243.

(6)Þorsteinn Vilhjálmsson 1990, 28, og tilvísanir þar.

(7)Geelmuyden, 1920, 104--106.

(8)Sjá nánar Þorstein Vilhjálmsson 1990, 29.

(9)Finnur Jónsson o.fl. 1920, 22; Magnús Már Lárusson 1955, 19; Holm-Olsen 1983, 10.

(10)Þorkell Þorkelsson 1926, 47--49. Roslund 1984, 29.

(11)Þorsteinn Vilhjálmsson 1986, 264--266.

(12)Útreikningar byggðir á Moesgaard 1975, 172.

(13)Björn M. Ólsen 1914, 5--6; Beckman og Kålund 1914--16, 50--51 (fylgt lesháttum þar).

(14)Beckman og Kålund 1914--16, 91.

(15)Macrobius 1868, 559; Beckman 1916, xxvi.

(16)Þorsteinn Vilhjálmsson 1989; sami höf. 1990, 20--22.

(17)Moesgaard 1975, 172.

(18)Finnur Jónsson o.fl. 1920, 26--27; Magnús Már Lá russon 1955, 22--23; Holm-Olsen 1983, 12.

(19)Roselund 1984, 32-34.

(20)Þorsteinn Vilhjálmsson 1990, 8--10 og 35--36.

Heimildaskrá

Afmælisrit til Dr. Phil. Kr. Kålunds bókavarðar við safn Árna Magnú ssonar 19. ágúst 1914, Kaupmannahöfn, 1914.

Beckman, N., 1916. Inledning, hjá Beckman og Kålund, 1914--16, i--cxciv.

Beckman, N., og Kr. Kålund (udg.), 1914--16. Alfræði íslenzk: Islandsk encyklopædisk litteratur: II. Rímtöl, Samfund til udgivelse af gammel nordisk litteratur, København.

Björn M. Ólsen, 1914. Um Stjörnu-Odda og Oddatölu, Afmælisrit, 1--15.

Bragi Halldórsson, Jón Torfason, Sverrir Tómasson og Örnólfur Thorsson (ritstjórar), 1986. Íslendingasögur og þættir: Síðara bindi, Reykjavík.

Eiríkur Hamall Þorsteinsson, 1986. Stjörnu-Oddi. Fréttabréf Eðlisfræð ifélags Íslands 5, nr. 9, 8--16 [fjölrit].

Eyssenhardt, Franciscus, (recognovit), 1868. Macrobius, Lipsiae.

[Finnur Jónsson (udg.)], 1892--96. Hauksbók, København.

[Finnur Jónsson og Eiríkur Jónsson, (udg.)], 1920. Konungs Skuggsjá: Speculum Regale, Kjøbenhavn.

Geelmuyden, H., 1920. Om stedet for Kongespejlets forfattelse, hjá Finni Jónssyni o.fl., Indledning, 101--106.

Grant, Edward, (ed.), 1974. A Source Book in Medieval Science, Cambridge, Mass.

Guðni Jónsson (bjó til prentunar), 1947. Íslendingasögur IX: Þ ingeyingasögur, Reykjavík.

Holm-Olsen, Ludvig, (utg.), 1983. Konungs Skuggsjá, Norrøne texter nr. 1, Oslo.

Holtsmark, Anne, 1959. Firmament. KLNM IV, 297--299.

Holtsmark, Anne, 1972. Stjernekundskab. Norge og Island. KLNM XVII, 190--194.

KLNM: Kulturhistorisk leksikon for nordisk middelalder.

Kren, Claudia, 1986. Astronomy, hjá Wagner, 218--247.

Kulturhistorisk leksikon for nordisk middelalder: fra vikingetid til reformationstid, I--XXI, København, 1956--1978.

Lindberg, David C., (ed.), 1978. Science in the Middle Ages, Chicago and London.

Macrobius, Ambrosius Theodosius, 1868. Commentariorum in Somnium Scipionis, hjá Eyssenhardt, 465--641.

Magnús Már Lárusson (bjó til prentunar), 1955. Konungs Skuggsjá: Speculum Regale, Reykjavík.

Mahoney, Michael S., 1978. Mathematics, hjá Lindberg, 145--178.

Marcus, G., 1980. The Conquest of the North Atlantic, Woodbridge, Suffolk.

Masi, Michael, 1986. Arithmetic, hjá Wagner, 147--168.

Moesgaard, Kristian Peder, 1975. Elements of Planetary, Lunar and Solar Orbits, 1900 B.C. to A.D. 1900, Tabulated for Historical Use, Centaurus 19, 157--181.

Pedersen, Olaf, 1966. Matematisk litteratur. KLNM XI, 491--500.

Pedersen, Olaf, 1978. Astronomy, hjá Lindberg, 303--337.

Reuter, Otto Sigfrid, 1934. Germanische Himmelskunde: Untersuchungen zur Geschichte des Geistes, München.

Roslund, Curt, 1984. Stjärn-Oddi: En vikinga-astronom på Island, Astronomisk årsbok, 28--34.

Schnall, Uwe, 1975. Navigation der Wikinger: Nautische Probleme der Wikingerzeit im Spiegel der schriftlichen Quellen, Oldenburg/Hamburg [Schriften des Deutschen Schiffahrtsmuseums, Band 6].

Trausti Einarsson, 1970. Nokkur atriði varðandi fund Íslands, siglingar og landnám, Saga 8, 43--64.

Wagner, David L., (ed.), 1986. The Seven Liberal Arts in the Middle Ages, Bloomington (1st. edn. 1983).

Zinner, E., 1933. Die astronomischen Kenntnissen des Stern-Odde, Mannus: Zeitschrift für Vorgeschichte, 25, 301--306.

Þorkell Þorkelsson, 1926. Stjörnu-Oddi, Skírnir 100, 45--65.

Þorsteinn Vilhjálmsson, 1986 og 1987. Heimsmynd á hverfanda hveli: Sagt frá heimssýn vísindanna frá öndverðu fram yfir daga Newtons, I--II, Reykjavík.

Þorsteinn Vilhjálmsson, 1989. Af Surti og sól. Tímarit Háskóla Í slands 4, 87--97.

Þorsteinn Vilhjálmsson, 1990. Raunvísindi á miðöldum. Íslensk þjóð menning VII, 1--50.

Next: Tímasetning só lhvarfa Up: Ritsmíðar Previous: Time and travel